Владимир Дашкевич родился 20 января 1934 года в Москве. Его отец - Сергей Дашкевич был дворянином. После революции примкнул к большевикам, ушёл из семьи. В 1934 году работал инструктором просвещения в политуправлении штаба Московского военного округа.
В 1938 году отец будущего композитора был репрессирован, в 1954 году освобождён. Мать Анна Ильинична родом из Черниговской губернии.
В 1950-х Владимир Дашкевич поступил в Московский институт тонкой химической технологии и окончил его, получив диплом инженера-химика. После ВУЗа, параллельно с работой по полученной специальности, учился музыке, посещая семинар самодеятельных композиторов. Занимался под руководством Филиппа Гершковича и Николая Каретникова.
В 1962 году Дашкевич получил второе высшее образование - музыкальное, окончив Музыкально-педагогический институт имени Гнесиных (класс Арама Хачатуряна).
Владимир Дашкевич много и плодотворно работает в кино. В 1973 году в фильме «Капля в море» впервые прозвучала его знаменитая «сказочная тема», которая приобрела широкую известность благодаря телепередаче «В гостях у сказки», музыкальной заставкой которой она стала. Эта мелодия также использовалась в различных сюжетах «Ералаша», а в 1982 году - в фильме-сказке «Там, на неведомых дорожках...», в том числе в песне «Приходите в гости к нам» (в исполнении Оли Рождественской), для которой Юлий Ким написал слова (в фильме «Капля в море» песенка имела другой текст и называлась «Шапка-невидимка»).
С 1979 по 1986 год Владимир Дашкевич работал над музыкой для серии фильмов «Приключения Шерлока Холмса и доктора Ватсона», которая принесла ему большую популярность - увертюра из фильма стала хитом своего времени. Также широкую мировую известность получила печальная главная тема из кинофильма «Собачье сердце» (1988 год).
В 1996-2008 годах был композитором в передаче «Джентльмен-шоу».
Помимо симфонической музыки, сочиняет песни и другие вокальные произведения на стихи Юлия Кима, а также классических русских и зарубежных поэтов. Сотрудничество с Еленой Камбуровой вылилось в вокальные циклы на стихи поэтов Серебряного века.
Написал концерт для виолончели с оркестром (1973 год), мюзикл «Бумбараш» (1974 год), вокальные циклы на стихи А. Блока, В. Маяковского, О. Мандельштама, оперу «Ревизор», «Реквием» на стихи Анны Ахматовой.